素数

若一个正整数无法被除了1和它自身以外的任何自然数整除，则称该数为素数（Prime number），或称质数。

在整个自然数集合中，素数的数量不多，分布比较稀疏，对于一个足够大的整数N，不超过N的素数大约有[math]\displaystyle{ \frac{N}{\ln N} }[/math]个。

质数的判定

最简单的方法就是试除法，它作为最简单也最经典的确定性算法，是我们经常会使用的方法。

int is_prime(n) {
	if (n < 2)
		return 0;
	for (int i = 2; i * i < n; ++i)
		if (n % i == 0)
			return 0;
		return 1;
}

筛法

Eratosthenes筛法

给定一个整数N，求出1~N之间的所有素数，称为素数的筛选问题。

对于这类问题我们有一种选择是Eratosthenes筛法。

Eratosthenes筛法基于这样的想法：任意整数x的倍数2x,3x,...都不是素数。根据素数的定义，上述命题显然成立。

我们可以从2开始，由小到大扫描每个数x，把它的倍数标记为合数。当扫描到一个数时，若它没被标记，说明它不能被2~x-1之间的任何数整除，该数就是素数。

int v[MAX_N];
void eratosthenes(int n) {
	memset(v, 0, sizeof(v));
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		if (v[i])
			continue;
		for (int j = i; j <= n/i; ++i)
			v[i * j] = 1;
	}
}

Eratosthenes筛法的时间复杂度为[math]\displaystyle{ O(N \log \log N) }[/math]，该算法实现简单，效率已经非常接近线性，是算法竞赛最常用的素数筛法。

线性筛

即使在优化后（从[math]\displaystyle{ x^2 }[/math]开始），Eratosthenes筛法仍然会重复标记合数。

线性筛法通过“从大到小累计素因数”的方式标记每个合数。

设数组v记录每个数的最小素因数，我们按照以下步骤维护v：

1. 依次考虑2~N之间每个数i。
2. 若v[i]=i，说明i是素数，把它保存起来。
3. 扫描不大于v[i]的每个素数p，令v[i*p]=p。

每个合数i*p只会被它的最小素因数p筛一次，时间复杂度为[math]\displaystyle{ O(N) }[/math]。

int v[MAX_N], prime[MAX_N];
int m;
void primes(int n) {
	memset(v, 0, sizeof(v));
	m = 0;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		if (v[i] == 0) {
			v[i] = i;
			prime[++m] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			if (prime[j] > v[i] || prime[j] > m/i)
				break;
			v[i * prime[j]] = prime[i];
		}
	}
}

参考资料

1. 算法竞赛进阶指南，李煜东，134~137页