前缀和

在算法的世界里，效率是永恒的追求。而“前缀和”就像一把利刃，能够帮助我们快速解决一系列涉及数组区间求和的问题。如果采用朴素的遍历求和方法，时间复杂度会达到 O(n)，其中 n 是区间长度。而前缀和技巧可以将区间求和的时间复杂度降低到 O(1)，大大提高了程序的效率。

一维前缀和

对于一个给定的数列A，它的前缀和数列S的定义是：[math]\displaystyle{ S_i=\sum_{j=1}^i{A_j} }[/math]

其中，Si 表示 A 中从第一个元素到第 i 个元素的和。特别地，我们定义 S0 = 0，表示空的前缀和。

你可以很简单的用递推来计算出一个数列的前缀和： [math]\displaystyle{ S_i=\begin{cases} A_1 &i=1 \\ S_{i-1}+A_i&i\gt 1 \end{cases} }[/math]

一个部分和即数列A某个下标区间内的数的和，可表示为前缀和相减的形式：[math]\displaystyle{ sum(l,r)=\sum_{j=l}^r{A_j}=S_r-S_{l-1} }[/math]

实现

#define SIZE 100001

int S[SIZE];

void init(int* A, int n) {
	S[0] = A[0];
	for (int i = 1; i < n; ++i)
		S[i] = S[i - 1] + A[i];
}

int add(int l, int r) {
	return S[r] - S[l - 1];
}

二维前缀和

在二维数组（矩阵）中，可类似地求出二维前缀和，进一步计算出二维部分和。

对于一个二维数组（矩阵）A，其二维前缀和矩阵 S 的定义是： [math]\displaystyle{ S_{i,j}=\sum_{k=1}^i\sum_{l=1}^j{A_{k,l}} }[/math]

其中，Si,j 表示 A 中以 (1,1) 为左上角，(i,j) 为右下角的子矩阵中所有元素的和。同样地，我们定义 S0,j = Si,0 = 0。

二维前缀和的计算也可以使用递推的方法：

[math]\displaystyle{ S_{i,j}= \begin{cases} 0 & i=0 \text{ or } j=0\\ A_{i,j} & i = 1 \text{ and } j = 1 \\ S_{i-1,j} + A_{i, j} & i \gt 1 \text{ and } j = 1\\ S_{i, j - 1} + A_{i, j} & i = 1 \text{ and } j \gt 1\\ S_{i-1,j} + S_{i,j-1} - S_{i-1,j-1} + A_{i,j} & i \gt 1 \text{ and } j \gt 1\\ \end{cases} }[/math]

二维前缀和的主要应用是快速计算子矩阵的元素之和。对于以 (x1, y1) 为左上角，(x2, y2) 为右下角的子矩阵，其元素之和可以表示为：

[math]\displaystyle{ sum(x1, y1, x2, y2) = S[x2][y2] - S[x1 - 1][y2] - S[x2][y1 - 1] + S[x1 - 1][y1 - 1] }[/math]

参考资料

1. 算法竞赛进阶指南，李煜东，21~22页