有穷自动机

确定性有穷自动机

定义

确定性有穷自动机（Deterministic Finite Automaton, DFA）是一个5元组[math]\displaystyle{ (Q,\Sigma,\delta,q_0,F) }[/math]，其中

1. Q是一个有穷集合，称为状态集
2. [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]是一个有穷集合，称为字母表
3. [math]\displaystyle{ \delta：Q×\Sigma \rightarrow Q }[/math]是状态转移函数
4. [math]\displaystyle{ q_0\in Q }[/math]是起始状态
5. [math]\displaystyle{ F\subseteq Q }[/math]是接受状态集

一台确定性有穷自动机有如上五个部分组成，介绍如下：

1. 它有一个状态集，表示它有的全部状态
2. 它有一个输入字母表，指明所有允许的输入符号
3. 它有一个根据一个输入字符从一个状态到另一个状态的规则
4. 它有一个起始状态，表示处理所起始的状态
5. 它有一个接受状态集，表示处理表达为接受的状态

用处

主要对于输入的字符串判定是否该确定性有穷自动机所识别的语言，对此表示接受及不接受。

而如上的确定性有穷自动机是识别以0结尾的串，对于以0结尾的串[math]\displaystyle{ x \in \Sigma^* }[/math]，表示接受，反之不接受。

确定性有穷自动机可以用来定义语言也可用于识别语言。

运算

假如现在有个确定性有穷自动机[math]\displaystyle{ \mathcal M_1=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F) }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} Q=\{q_0,q_1\}\\ \Sigma=\{0,1\}\\ \delta=\begin{Bmatrix} \delta(q_0,0)=q_1\\ \delta(q_0,1)=q_0\\ \delta(q_1,0)=q_1\\ \delta(q_1,1)=q_0 \end{Bmatrix}\\ F=\{q_1\} \end{align} }[/math]

假如对于上面的确定性有穷自动机[math]\displaystyle{ \mathcal M_1 }[/math]，输入字符串[math]\displaystyle{ 010 }[/math]，此时从初始状态[math]\displaystyle{ q_0 }[/math]开始，读入第一个字符[math]\displaystyle{ 0 }[/math]，因为[math]\displaystyle{ \delta(q_0,0)=q_1 }[/math]，所以转移状态至[math]\displaystyle{ q_1 }[/math]，继续读入下一个字符[math]\displaystyle{ 1 }[/math]，因为[math]\displaystyle{ \delta(q_1,1)=q_0 }[/math]，所以转移状态至$q_0$，继续读入下一个字符[math]\displaystyle{ 0 }[/math]，因为[math]\displaystyle{ \delta(q_0,0)=1 }[/math]所以转移状态至[math]\displaystyle{ q_1 }[/math]，运算结束。因为最后停在状态[math]\displaystyle{ q_1 }[/math]，因为[math]\displaystyle{ q_1 \in F }[/math]，所以确定性有穷自动机[math]\displaystyle{ \mathcal M_1 }[/math]接受字符串[math]\displaystyle{ 010 }[/math]。

扩展转移函数

扩展[math]\displaystyle{ \delta }[/math]到字符串，定义扩展转移函数[math]\displaystyle{ \hat{\delta}:Q×\Sigma^* \rightarrow Q }[/math]为

[math]\displaystyle{ \hat{\delta}(q,w)=\begin{cases} q &w=\varepsilon \\ \delta(\hat{\delta}(q,x),a)&w=xa \end{cases} }[/math]

其中[math]\displaystyle{ q \in Q$，$a \in \Sigma }[/math]， [math]\displaystyle{ w,x \in \Sigma^* }[/math]

定理一

[math]\displaystyle{ \hat{\delta}(q,xy)=\hat{\delta}(\hat{\delta}(q,x),y) }[/math]

DFA的语言

若[math]\displaystyle{ M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F) }[/math]是一个确定性有穷自动机，则M接受的语言为

[math]\displaystyle{ \mathcal{L(M)}=\{w\in \Sigma^*|\hat{\delta}(q_0,w)\in F\} }[/math]