算数基本定理：修订间差异

2022年2月22日 (二) 16:05的版本

算数基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）即：任何一个大于1的正整数都能被唯一分解为有限个素数的乘积，可写作：

[math]\displaystyle{ N = \prod_{i=1}^n p_i^{c_i} = {p_1}^{c_1}{p_2}^{c_2}\cdots{p_n}^{c_n} }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ c_i }[/math] 都是正整数，[math]\displaystyle{ p_i }[/math] 都是素数，且满足 [math]\displaystyle{ p_1\lt p_2\lt \cdots \lt p_n }[/math]

实现

结合素数判定的“试除法”和素数筛选的“Eratosthenes筛法”，我们可以扫描 [math]\displaystyle{ 2 \backsim \lfloor \sqrt N \rfloor }[/math] 的每个数d，若d能整除N，则从N中除掉所有的因子d，同时累计除去的d的个数。

因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了，所以在上述过程中能整除N的一定是素数。最终就得到了分解素因数的结果，易知时间复杂度为 [math]\displaystyle{ O(\sqrt N) }[/math]。

特别的，若N没有被任何 [math]\displaystyle{ 2 \backsim \lfloor \sqrt N \rfloor }[/math] 的数整除，则N是素数，无需分解。

int c[MAX_N], p[MAX_N];
int m;
void divide(int n) {
	m = 0;
	for (int i = 2; i < sqrt(n); ++i) {
		if (n % i == 0) {
			p[++m] = i;
			c[m] = 0;
		}
		while (n % i == 0) {
			n /= i;
			c[m]++;
		}
	}
	if (n > 1) {
		p[++m] = n;
		c[m] = 1;
	}
}

参考资料

算法竞赛进阶指南，李煜东，137页

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 结合素数判定的“试除法”和素数筛选的“Eratosthenes筛法”，我们可以扫描 <math>2 \backsim \lfloor \sqrt N \rfloor</math> 的每个数d，若d能整除N，则从N中除掉所有的因子d，同时累计除去的d的个数。
-因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了，所以在上市u过程中能整除N的一定是素数。最终就得到了分解素因数的结果，易知时间复杂度为 <math>O(\sqrt N)</math>。
+因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了，所以在上述过程中能整除N的一定是素数。最终就得到了分解素因数的结果，易知时间复杂度为 <math>O(\sqrt N)</math>。
 特别的，若N没有被任何 <math>2 \backsim \lfloor \sqrt N \rfloor</math> 的数整除，则N是素数，无需分解。